Random Math Fact: Unendlich viele Primzahlen

  • Ich hock grad in der Bib und drück mich vorm Lernen und das hier spukt mir im Kopf herum. Mal schaun obs jemanden juckt x)


    Es gibt unendlich viele Primzahlen.
    Kann ja jeder behaupten.Ohne Beweis glaubt man in Mathe am besten gar nix. Also…


    Beweis
    Ich führe einen Beweis durch Widerspruch. Dafür stelle ich zunächst eine Annahme auf und folgere dann, dass die Annahme unausweichlich zu einem Widerspruch führt. Damit muss die Annahme falsch gewesen sein.
    Da ich beweisen möchte, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, nehme ich deshalb zunächst das Gegenteil an.


    Ich behaupte also dreist: Es gibt eine endliche Anzahl an Primzahlen. Keine Ahnung wie viele, aber is so. >:P
    Eine endliche Anzahl an Primzahlen können wir aber ganz einfach aufmultiplizieren. Das Ergebnis ist eine sehr große (aber immer noch endliche) Zahl. Nennen wir die Zahl q.
    q = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · … · p
    (p ist hier die letzte/größte meiner endlich vielen Primzahlen)


    Die Zahl q ist natürlich keine Primzahl, sie ist ja sogar durch jede Primzahl teilbar. Stattdessen schaun wir uns mal die um eins größere Zahl q+1 an.
    Die kleinste Primzahl ist 2. Das nächstgrößte Vielfach von 2 nach q ist q+2, das von 3 ist q+3 usw. q+1 ist aber nur um 1 größer als q. Also kann q+1 kein Vielfaches einer Primzahl sein, da die ja bereits alle als Faktor in q vorkommen. Wenn aber q+1 durch keine der endlich vielen Primzahlen teilbar ist, kann es nur noch durch sich selbst und durch 1 Teilbar sein, ist also selbst ein Primzahl. Wir wissen aber, dass q+1 viel größer als alle unsere endlich vielen Primzahlen ist. q+1 ist also eine Primzahl, die aber nicht zu allen überhaupt existierenden Primzahlen gehört… macht keinen Sinn. Das ist also ein Widerspruch zur ursprünglichen Behauptung, dass bereits alle (endlich vielen) Primzahlen in q drinstecken.


    Also war meine dreiste Behauptung falsch und ergo das Gegenteil richtig: Es gibt doch unendliche viele Primzahlen. Yay!


    What else?
    Primzahlen sind cool. Die Tatsache, dass es unendlich viele davon gibt ist ziemlich grundlegend für viele Teilbereiche in der Mathematik.
    Ein interessantes Problem sind Primzahl-Paare, also Primzahlen mit einer Differenz von 2 (z.B. 17 und 19 oder 41 und 43). Für die Behauptung „Es gibt (un)endlich viele Primzahl-Paare“ hat bis heute niemand einen (Gegen-)Beweis gefunden.


    So, jetzt mach ich wieder was sinnvolles. Hope you enjoyed.